Εκτέλεση σε ένα μπολ βάζουμε το γάλα χλιαρό, τη μαγιά, τη ζάχαρη και τα ανακατεύουμε καλά με ένα κουτάλι, αφήνουμε στην άκρη για 10 λεπτά να ενεργοποιηθεί η μαγιά και να φουσκώσει το μίγμα.
Χτυπάμε το αυγό και το και το προσθέτουμε στο μίγμα της μαγιάς, μαζί με τη βανίλια, το βούτυρο λιωμένο, το αλεύρι και το αλάτι και ζυμώνουμε πολύ καλά, προσθέτουμε έπειτα και το βούτυρο λιωμένο και σε ένα πάγκο αλευρωμένο, ρίχνουμε το ζυμάρι και ζυμώνουμε για λίγο ακόμα.
Μεταφέρουμε σε ένα λαδωμένο σκεύος, σκεπάζουμε με μεμβράνη και αφήνουμε σε θερμοκρασία δωματίου να φουσκώσει για περίπου μια ώρα μέχρι να διπλασιαστεί ο όγκος του.
Αλευρώνουμε τον πάγκο εργασίας και με έναν πλάστη ανοίγουμε το ζυμάρι σε πάχος 1- 1,5 εκ.
Κόβουμε με ένα κουπάτ στρογγυλό περίπου 10-12 εκ και με ένα μικρότερο κόβουμε στη μέση για να κάνουμε μια τρύπα.
Τοποθετούμε σε αλευρωμένη επιφάνια, σκεπάζουμε με μια πετσέτα και αφήνουμε να φουσκώσουν για 20 λεπτά.
Βάζουμε ένα τηγάνι με αρκετό σπορέλαιο να ζεσταθεί καλά, και τηγανίζουμε τα ντόνατς γυρίζοντας με μια τρυπητή κουτάλα συχνά και από τις δύο πλευρές.
Τοποθετούμε σε απορροφητικό χαρτί, αφήνουμε να κρυώσουν λίγο.

Σε ένα μπολ βάζουμε μπόλικη ζάχαρη και περνάμε τα ντόντας ή βάζουμε από πάνω το γλάσο από κακάο.

Για το γλάσο από κακάο
Σε ένα μπολ βάζουμε το γάλα μα την άχνη και ανακατεύουμε καλά, ρίχνουμε και το κακάο ανακατεύουμε και είναι έτοιμο για χρήση.